1. Вычислить: \(\sqrt[4]{47} \cdot \sqrt[6]{16}\)

Решение:

Чтобы вычислить \(\sqrt[4]{47} \cdot \sqrt[6]{16}\), приведём корни к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 равен 12.

1. Представим \(\sqrt[6]{16}\) как \(\sqrt[6]{2^4}\).
2. Переведём корни в степень: \( \sqrt[4]{47} = 47^{1/4} \), \( \sqrt[6]{16} = 16^{1/6} \).
3. Приведём степени к общему знаменателю 12:
• \( 47^{1/4} = 47^{3/12} = \sqrt[12]{47^3} = \sqrt[12]{103823} \)
• \( 16^{1/6} = 16^{2/12} = \sqrt[12]{16^2} = \sqrt[12]{256} \)
4. Теперь перемножим корни с одинаковым показателем:
• \( \sqrt[12]{103823} \cdot \sqrt[12]{256} = \sqrt[12]{103823 \cdot 256} = \sqrt[12]{26578688} \)

Ответ: \(\sqrt[12]{26578688}\)