8. Вычислить: \(2 \sin (-\frac{\pi}{4}) + \cos \frac{5\pi}{3} - 2\text{tg}\frac{\pi}{4} - 3\text{ctg}\frac{\pi}{2}\)

Решение:

Для вычисления значения выражения \(2 \sin (-\frac{\pi}{4}) + \cos \frac{5\pi}{3} - 2\text{tg}\frac{\pi}{4} - 3\text{ctg}\frac{\pi}{2}\) вспомним значения тригонометрических функций для стандартных углов.

1. Вычислим каждое слагаемое отдельно:
• \( \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \)
• \( \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1 \)
• \( \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0 \)
2. Подставим найденные значения в исходное выражение:
• \( 2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} - 2 \cdot 1 - 3 \cdot 0 \)
3. Упростим:
• \( -\sqrt{2} + \frac{1}{2} - 2 - 0 \)
• \( -\sqrt{2} + \frac{1}{2} - \frac{4}{2} \)
• \( -\sqrt{2} - \frac{3}{2} \)

Ответ: \(-\sqrt{2} - \frac{3}{2}\)