6. Найдите сумму корней уравнения: $\log_3(x^2 - 11x + 27) = 2$

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Найдите сумму корней уравнения: $\log_3(x^2 - 11x + 27) = 2$$ Фото задания

6. Найдите сумму корней уравнения: $\log_3(x^2 - 11x + 27) = 2$

Accepted Answer

Решение:

Для решения уравнения $\log_3(x^2 - 11x + 27) = 2$ сначала приведём его к виду $x^2 - 11x + 27 = 3^2$, а затем найдём сумму корней полученного квадратного уравнения.

Перепишем уравнение, используя определение логарифма:

$ x^2 - 11x + 27 = 3^2 $
$ x^2 - 11x + 27 = 9 $

Приведём к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$ x^2 - 11x + 27 - 9 = 0 $
$ x^2 - 11x + 18 = 0 $

Найдем сумму корней квадратного уравнения $x^2 - 11x + 18 = 0$ по теореме Виета. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -b/a$.

В нашем случае $ a = 1 $, $ b = -11 $, $ c = 18 $.
$ x_1 + x_2 = -(-11)/1 = 11 $

Проверим ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным. $x^2 - 11x + 18 > 0$. Корни уравнения $x=2$ и $x=9$. Значит, $x^2 - 11x + 18 > 0$ при $x < 2$ или $x > 9$.
Так как $3^2 = 9 > 0$, оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 11

6. Найдите сумму корней уравнения: \(\log_3(x^2 - 11x + 27) = 2\)

Ответ:

Решение: