6. Найдите сумму корней уравнения: $$\log_3 (x^2-11x+27)=2$$

Решение:

1. Представим правую часть в виде логарифма:
   $$2 = \log_3(3^2) = \log_3(9)$$
2. Приравняем аргументы логарифмов:
   $$x^2 - 11x + 27 = 9$$
3. Перенесем все в одну сторону:
   $$x^2 - 11x + 27 - 9 = 0$$
   $$x^2 - 11x + 18 = 0$$
4. Найдем сумму корней по теореме Виета:
   Для квадратного уравнения вида $$ax^2 + bx + c = 0$$, сумма корней $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$.
   В нашем случае $$a=1$$, $$b=-11$$.
   Сумма корней $$x_1 + x_2 = -\frac{-11}{1} = 11$$.
5. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):
   Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $$x^2 - 11x + 27 > 0$$.
   Найдем корни уравнения $$x^2 - 11x + 18 = 0$$. По теореме Виета $$x_1 = 2$$, $$x_2 = 9$$.
   Проверим: $$2^2 - 11(2) + 27 = 4 - 22 + 27 = 9 > 0$$.
   $$9^2 - 11(9) + 27 = 81 - 99 + 27 = 9 > 0$$.
   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 11