5. Вычислить производную: \((\frac{1}{3}x^3+x)(3x^2-1)\)

Решение:

Для вычисления производной произведения \(y = u \cdot v\) используем формулу \(y' = u'v + uv'\).

Пусть \( u = \frac{1}{3}x^3 + x \) и \( v = 3x^2 - 1 \).

1. Найдем производные \( u' \) и \( v' \):
• \( u' = (\frac{1}{3}x^3 + x)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 1 = x^2 + 1 \)
• \( v' = (3x^2 - 1)' = 3 \cdot 2x = 6x \)
2. Подставим в формулу производной произведения:
• \( y' = (x^2 + 1)(3x^2 - 1) + (\frac{1}{3}x^3 + x)(6x) \)
3. Раскроем скобки и упростим выражение:
• \( y' = (x^2 \cdot 3x^2 - x^2 \cdot 1 + 1 \cdot 3x^2 - 1 \cdot 1) + (\frac{1}{3}x^3 \cdot 6x + x \cdot 6x) \)
• \( y' = (3x^4 - x^2 + 3x^2 - 1) + (2x^4 + 6x^2) \)
• \( y' = 3x^4 + 2x^2 - 1 + 2x^4 + 6x^2 \)
• \( y' = (3x^4 + 2x^4) + (2x^2 + 6x^2) - 1 \)
• \( y' = 5x^4 + 8x^2 - 1 \)

Ответ: \(5x^4 + 8x^2 - 1\)