2. Решить уравнение: \((\frac{1}{3})^{3x+1} = (\frac{1}{7})^{5x-3}\)

Решение:

Чтобы решить уравнение \((\frac{1}{3})^{3x+1} = (\frac{1}{7})^{5x-3}\), приравняем показатели степеней, взяв логарифм от обеих частей уравнения по любому основанию (например, по основанию 10).

1. Возьмём десятичный логарифм от обеих частей:
• \( \log((\frac{1}{3})^{3x+1}) = \log((\frac{1}{7})^{5x-3}) \)
2. Используем свойство логарифма \( \log(a^b) = b \log(a) \):
• \( (3x+1)\log(\frac{1}{3}) = (5x-3)\log(\frac{1}{7}) \)
• \( (3x+1)(-\log 3) = (5x-3)(-\log 7) \)
• \( -(3x+1)\log 3 = -(5x-3)\log 7 \)
• \( (3x+1)\log 3 = (5x-3)\log 7 \)
3. Раскроем скобки:
• \( 3x\log 3 + \log 3 = 5x\log 7 - 3\log 7 \)
4. Сгруппируем члены с \( x \) и свободные члены:
• \( \log 3 + 3\log 7 = 5x\log 7 - 3x\log 3 \)
• \( \log 3 + \log 7^3 = x(5\log 7 - 3\log 3) \)
• \( \log 3 + \log 343 = x(\log 7^5 - \log 3^3) \)
• \( \log(3 \cdot 343) = x(\log 16807 - \log 27) \)
• \( \log 1029 = x \log(\frac{16807}{27}) \)
5. Выразим \( x \):
• \( x = \frac{\log 1029}{\log(\frac{16807}{27})} \)

Ответ: \( x = \frac{\log 1029}{\log(\frac{16807}{27})} \)