1. Вычислить: \(\sqrt[8]{47} \cdot \sqrt[16]{16}\)

Решение:

Для вычисления значения выражения \(\sqrt[8]{47} \cdot \sqrt[16]{16}\) воспользуемся свойствами степеней.

1. Представим \(\sqrt[16]{16}\) как степень числа 16: \( \sqrt[16]{16} = 16^{\frac{1}{16}} \).
2. Так как \( 16 = 2^4 \), то \( 16^{\frac{1}{16}} = (2^4)^{\frac{1}{16}} = 2^{\frac{4}{16}} = 2^{\frac{1}{4}} \).
3. Выражение \(\sqrt[8]{47} \cdot \sqrt[16]{16}\) можно записать как \( 47^{\frac{1}{8}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} \).
4. Если в задании имелось в виду \(\sqrt[8]{47} \cdot \sqrt[8]{16}\), то: \(\sqrt[8]{47} \cdot \sqrt[8]{16} = \sqrt[8]{47 \cdot 16} = \sqrt[8]{752}\).
5. Если в задании имелось в виду \(\sqrt[8]{47} \cdot 16\), то результат будет \( 16\sqrt[8]{47} \).
6. Если в задании имелось в виду \(\sqrt{47} \cdot \sqrt[16]{16}\), то: \(\sqrt{47} \cdot 2^{\frac{1}{4}} = 47^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} \).
7. Учитывая, что \(\sqrt[16]{16} = \sqrt[4]{2}\), то \( \sqrt[8]{47} \cdot \sqrt[16]{16} = \sqrt[8]{47} \cdot \sqrt[4]{2} \).
8. Приведём к общему знаменателю степеней: \( \frac{1}{8} = \frac{2}{16} \) и \( \frac{1}{4} = \frac{4}{16} \).
9. \( 47^{\frac{1}{8}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} = 47^{\frac{2}{16}} \cdot 2^{\frac{4}{16}} = (47^2)^{\frac{1}{16}} \cdot (2^4)^{\frac{1}{16}} = (2209)^{\frac{1}{16}} \cdot (16)^{\frac{1}{16}} = (2209 \cdot 16)^{\frac{1}{16}} = (35344)^{\frac{1}{16}} = \sqrt[16]{35344} \).

Ответ: \(\sqrt[16]{35344}\) или \(\sqrt[8]{47} \cdot \sqrt[4]{2}\).