8. Вычислить: \(2 \sin(-\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{5\pi}{3}) - 2 \text{tg}(2\pi) - 3 \text{ctg}(\frac{\pi}{2})\)

Решение:

Вычислим значение каждого члена выражения отдельно:

1. \( \sin(-\frac{\pi}{4}) \): синус — нечётная функция, \( \sin(-x) = -\sin(x) \). \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Значит, \( \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
2. \( \cos(\frac{5\pi}{3}) \): \( \frac{5\pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3} \). Косинус имеет период \(2\pi\), поэтому \( \cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) \). Косинус — чётная функция, \( \cos(-x) = \cos(x) \). \( \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \). Значит, \( \cos(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2} \).
3. \( \text{tg}(2\pi) \): тангенс имеет период \(\pi\). \( \text{tg}(2\pi) = \text{tg}(0) = 0 \).
4. \( \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) \): котангенс \(\frac{\pi}{2}\) равен 0.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

\( 2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} - 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \)

\( -\sqrt{2} + \frac{1}{2} - 0 - 0 \)

\( \frac{1}{2} - \sqrt{2} \)

Можно также записать как \( \frac{1 - 2\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: \(\frac{1}{2} - \sqrt{2}\).