2. Решить уравнение: \((\frac{3}{7})^{3x+1} = (\frac{7}{3})^{5x-3}\)

Решение:

Для решения уравнения \((\frac{3}{7})^{3x+1} = (\frac{7}{3})^{5x-3}\) приведём обе части к одному основанию.

1. Заметим, что \( \frac{7}{3} = (\frac{3}{7})^{-1} \).
2. Подставим это в уравнение: \( (\frac{3}{7})^{3x+1} = ((\frac{3}{7})^{-1})^{5x-3} \).
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{mn} \): \( (\frac{3}{7})^{3x+1} = (\frac{3}{7})^{-(5x-3)} \).
4. Раскроем скобки в показателе: \( (\frac{3}{7})^{3x+1} = (\frac{3}{7})^{-5x+3} \).
5. Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней: \( 3x+1 = -5x+3 \).
6. Решим полученное линейное уравнение:
• Перенесём члены с \(x\) в левую часть, а постоянные — в правую: \( 3x + 5x = 3 - 1 \).
• Сложим подобные члены: \( 8x = 2 \).
• Найдём \(x\): \( x = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \).

Ответ: \(x = \frac{1}{4}\).