10) (□ + 3n)² = 36m² + □ + □²

Решение:

Это задание основано на формуле квадрата суммы: $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$.

1. Анализируем левую часть: $$(□ + 3n)^2$$.
2. Здесь $$b = 3n$$.
3. Предположим, что $$a = □$$.
4. Тогда $$(a + 3n)^2 = a^2 + 2(a)(3n) + (3n)^2$$.
5. $$(a + 3n)^2 = a^2 + 6an + 9n^2$$.
6. Теперь смотрим на правую часть: $$36m^2 + □ + □^2$$.
7. Сравниваем: $$a^2 + 6an + 9n^2 = 36m^2 + □ + □^2$$.
8. В правой части есть $$36m^2$$. Это может быть $$a^2$$.
9. Если $$a^2 = 36m^2$$, то $$a = 6m$$.
10. Тогда средний член $$2ab = 2(6m)(3n) = 36mn$$.
11. Но в правой части пропуск $$□$$, а не $$36mn$$.
12. Значит, $$36m^2$$ не является $$a^2$$.
13. Посмотрим на структуру: $$a^2 + 2ab + b^2$$.
14. В левой части $$(□ + 3n)^2$$. Значит, $$b=3n$$.
15. В правой части $$36m^2 + □ + □^2$$.
16. $$b^2 = (3n)^2 = 9n^2$$.
17. Значит, один из пропусков в правой части равен $$9n^2$$.
18. Теперь рассмотрим $$36m^2$$. Это может быть $$a^2$$.
19. Если $$a^2 = 36m^2$$, то $$a = 6m$$.
20. Тогда средний член $$2ab = 2(6m)(3n) = 36mn$$.
21. Сравним: $$a^2 + 2ab + b^2 = 36m^2 + 36mn + 9n^2$$.
22. Правая часть: $$36m^2 + □ + □^2$$.
23. Значит, $$□$$ (средний член) = $$36mn$$.
24. И $$□^2$$ = $$9n^2$$.
25. Левая часть: $$(a + b)^2$$. Если $$a = 6m$$ и $$b = 3n$$, то $$(6m + 3n)^2$$.
26. Заполняем пропуски:
• В левой части $$(□ + 3n)^2$$. Если $$a=6m$$, то $$(6m + 3n)^2$$.
• В правой части: $$36m^2 + 36mn + 9n^2$$.

Ответ:

$$(\mathbf{6m} + 3n)^2 = 36m^2 + \mathbf{36mn} + \mathbf{9n^2}$$