9) (□ + 4c)² = □ + 56ac + □

Решение:

Это задание основано на формуле квадрата суммы: $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$.

1. Анализируем левую часть: $$(□ + 4c)^2$$.
2. Здесь $$b = 4c$$.
3. Предположим, что $$a = □$$.
4. Тогда $$(a + 4c)^2 = a^2 + 2(a)(4c) + (4c)^2$$.
5. $$(a + 4c)^2 = a^2 + 8ac + 16c^2$$.
6. Теперь смотрим на правую часть: $$□ + 56ac + □$$.
7. Сравниваем: $$a^2 + 8ac + 16c^2 = □ + 56ac + □$$.
8. В правой части есть $$56ac$$. Это средний член $$2ab$$.
9. Если $$2ab = 56ac$$, то $$2(a)(4c) = 56ac$$.
10. $$8ac = 56ac$$.
11. Это не совпадает. Что-то не так в предположении.
12. Пересмотрим правую часть: $$□ + 56ac + □$$.
13. И левую часть: $$(□ + 4c)^2$$.
14. В правой части $$56ac$$ — это средний член $$2ab$$.
15. Если $$a = □$$ и $$b = 4c$$, то $$2ab = 2(□)(4c) = 8c(□)$$.
16. Если $$a = 4c$$ и $$b = □$$, то $$2ab = 2(4c)(□) = 8c(□)$$.
17. Значит, $$56ac$$ не может быть $$2ab$$, если $$4c$$ — это $$a$$ или $$b$$.
18. Предположим, что $$4c$$ — это $$b$$. И $$a$$ — это первый пропуск.
19. Тогда $$2ab = 2(a)(4c) = 8ac$$. Это не $$56ac$$.
20. Возможно, $$4c$$ — это $$a$$, и $$b$$ — это первый пропуск.
21. Тогда $$2ab = 2(4c)(b) = 8cb$$. Это тоже не $$56ac$$.
22. Рассмотрим правую часть: $$□ + 56ac + □$$.
23. Здесь $$56ac$$ — это $$2ab$$.
24. Пусть $$a$$ и $$b$$ — это два выражения, которые при умножении на 2 дают $$56ac$$.
25. И $$a^2$$ и $$b^2$$ — это два других пропуска.
26. Если $$2ab = 56ac$$, то $$ab = 28ac$$.
27. Мы знаем, что в левой части есть $$4c$$.
28. Если $$b = 4c$$, то $$a(4c) = 28ac$$. Тогда $$a = 7a$$. Это не работает.
29. Если $$a = 4c$$, то $$(4c)b = 28ac$$. Тогда $$b = 7c$$.
30. Проверим: $$(4c + 7c)^2 = (11c)^2 = 121c^2$$.
31. Правая часть: $$a^2 + 2ab + b^2$$.
32. $$a^2 = (4c)^2 = 16c^2$$.
33. $$b^2 = (7c)^2 = 49c^2$$.
34. $$2ab = 2(4c)(7c) = 56c^2$$.
35. Сумма: $$16c^2 + 56c^2 + 49c^2 = 121c^2$$.
36. Но в задании $$56ac$$, а не $$56c^2$$. Значит, $$a$$ и $$b$$ не оба содержат $$c$$.
37. Предположим, что $$a$$ содержит $$a$$ и $$b$$ содержит $$c$$.
38. Или $$a$$ содержит $$c$$ и $$b$$ содержит $$a$$.
39. В левой части $$(□ + 4c)^2$$. Значит, один из членов равен $$4c$$.
40. Пусть $$b = 4c$$. Тогда $$a = □$$.
41. $$2ab = 2(a)(4c) = 8ac$$. Это не $$56ac$$.
42. Пусть $$a = □$$ и $$b = 4c$$.
43. Правая часть: $$a^2 + 2ab + b^2$$.
44. $$a^2 = □$$.
45. $$2ab = 2(a)(4c) = 8ac$$. Не $$56ac$$.
46. Смотрим на $$56ac$$. Это $$2ab$$.
47. Значит, $$ab = 28ac$$.
48. В левой части $$(□ + 4c)^2$$.
49. Если один из членов $$4c$$.
50. Пусть $$4c$$ — это $$b$$. Тогда $$a imes 4c = 28ac$$. Отсюда $$a = 7a$$. Не работает.
51. Пусть $$4c$$ — это $$a$$. Тогда $$4c imes b = 28ac$$. Отсюда $$b = 7c$$.
52. Проверяем: $$(4c + 7c)^2 = (11c)^2 = 121c^2$$.
53. Правая часть: $$a^2 + 2ab + b^2 = (4c)^2 + 2(4c)(7c) + (7c)^2 = 16c^2 + 56c^2 + 49c^2 = 121c^2$$.
54. Но у нас $$56ac$$, а не $$56c^2$$.
55. Значит, одно из выражений должно содержать $$a$$.
56. Пусть $$a = □$$ и $$b = □$$.
57. $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$.
58. В левой части $$(□ + 4c)^2$$. Значит, один из членов равен $$4c$$.
59. Пусть $$b=4c$$. Тогда $$a=□$$.
60. $$2ab = 2(a)(4c) = 8ac$$. Это не $$56ac$$.
61. Следовательно, $$4c$$ не является $$a$$ или $$b$$ в чистом виде.
62. Рассмотрим $$56ac$$. Это $$2ab$$.
63. Значит $$ab = 28ac$$.
64. В левой части $$(□ + 4c)^2$$.
65. Если один из членов $$7a$$, а другой $$4c$$.
66. $$(7a + 4c)^2 = (7a)^2 + 2(7a)(4c) + (4c)^2 = 49a^2 + 56ac + 16c^2$$.
67. Сравниваем с правой частью: $$□ + 56ac + □$$.
68. $$□ = 49a^2$$
69. $$□ = 16c^2$$.
70. Заполняем пропуски:
• В левой части $$(□ + 4c)^2$$. Если $$a=7a$$, то $$(7a + 4c)^2$$.
• В правой части: $$49a^2 + 56ac + 16c^2$$.

Ответ:

$$(\mathbf{7a} + 4c)^2 = \mathbf{49a^2} + 56ac + \mathbf{16c^2}$$