10. Дан куб \(ABCD A_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между векторами: а) \(\overrightarrow{B_1B}\) и \(\overrightarrow{B_1C}\); б) \(\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{B_1D_1}\).

Пусть ребро куба равно \(s\). Для угла между векторами используем формулу \(\cos\varphi=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}\).

а) Возьмём координаты \(B_1B=(0;0;-s)\), \(B_1C=(0;s;-s)\). Тогда скалярное произведение равно \(s^2\), а длины векторов — \(s\) и \(s\sqrt2\). Значит, \(\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt2}\), откуда \(\varphi=45^\circ\).

б) \(\overrightarrow{DA}=(0;-s;0)\), \(\overrightarrow{B_1D_1}=(-s;s;0)\). Их скалярное произведение равно \(-s^2\), длины равны \(s\) и \(s\sqrt2\). Поэтому \(\cos\varphi=-\frac{1}{\sqrt2}\), откуда \(\varphi=135^\circ\).

Ответ: а) \(45^\circ\); б) \(135^\circ\).