12. Найдите углы, периметр и площадь треугольника с вершинами \(A(1;-1;3)\), \(B(3;-1;1)\) и \(C(-1;1;3)\).

Найдём длины сторон по координатам:

\(AB=\sqrt{(3-1)^2+(-1+1)^2+(1-3)^2}=2\sqrt2\).

\(AC=\sqrt{(-1-1)^2+(1+1)^2+(3-3)^2}=2\sqrt2\).

\(BC=\sqrt{(-1-3)^2+(1+1)^2+(3-1)^2}=2\sqrt6\).

Так как \(AB=AC\), углы при \(B\) и \(C\) равны. По теореме косинусов для угла \(A\): \(\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{8+8-24}{16}=-\frac12\), значит, \(A=120^\circ\). Тогда \(B=C=30^\circ\).

Периметр: \(P=AB+AC+BC=4\sqrt2+2\sqrt6\).

Площадь: \(S=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A=\frac12\cdot2\sqrt2\cdot2\sqrt2\cdot\sin120^\circ=2\sqrt3\).