13. Вычислите угол между прямыми \(AB\) и \(CD\), если: а) \(A(3;-2;4)\), \(B(4;-1;2)\), \(C(6;-3;2)\), \(D(7;-3;1)\); б) \(A(5;-8;-1)\), \(B(6;-8;-2)\), \(C(7;-5;-11)\), \(D(7;-7;-9)\).

Угол между прямыми берём острым или прямым. Используем направляющие векторы и формулу \(\cos\varphi=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u||\vec v|}\).

а) \(\overrightarrow{AB}=(1;1;-2)\), \(\overrightarrow{CD}=(1;0;-1)\). Их скалярное произведение равно \(3\), длины — \(\sqrt6\) и \(\sqrt2\). Поэтому \(\cos\varphi=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt3}{2}\), и \(\varphi=30^\circ\).

б) \(\overrightarrow{AB}=(1;0;-1)\), \(\overrightarrow{CD}=(0;-2;2)\). Скалярное произведение равно \(-2\), длины — \(\sqrt2\) и \(\sqrt8\). Поэтому \(\cos\varphi=\frac{2}{4}=\frac12\), и \(\varphi=60^\circ\).