10. (Дополнительная задача.) Биссектрисы AD и ВЕ треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол С треугольника, если ∠ АОВ = 140°.

Решение:

В треугольнике АОВ \( \angle OAB = \angle DAB \) и \( \angle OBA = \angle EBA \).

AD и BE — биссектрисы, значит \( \angle DAB = \frac{1}{2} \angle CAB \) и \( \angle EBA = \frac{1}{2} \angle CBA \).

В треугольнике АОВ: \( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \).

\( \angle OAB + \angle OBA + 140^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).

\( \frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle CBA = 40^{\circ} \).

Умножим на 2:

\( \angle CAB + \angle CBA = 80^{\circ} \).

В треугольнике АВС сумма углов равна 180°: \( \angle CAB + \angle CBA + \angle BCA = 180^{\circ} \).

Подставим значение суммы \( \angle CAB + \angle CBA \):

\( 80^{\circ} + \angle BCA = 180^{\circ} \).

\( \angle BCA = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).

Ответ: 100°.