9. Внутри треугольника АВС отмечена точка О, такая, что OA = OB = ОС. Известно, что ∠BOC = 160°, ∠COA = 130°. Найдите угол ВСА треугольника АВС.

Решение:

Точка О, равноудаленная от вершин треугольника, является центром описанной окружности.

Углы \( \angle BOC = 160^{\circ} \), \( \angle COA = 130^{\circ} \), \( \angle AOB \) — центральные углы, опирающиеся на дуги BC, AC, AB соответственно.

Сумма центральных углов, составляющих полный оборот вокруг точки О, равна 360°.

\( \angle AOB = 360^{\circ} - \angle BOC - \angle COA = 360^{\circ} - 160^{\circ} - 130^{\circ} = 70^{\circ} \).

Угол треугольника, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Угол \( \angle BAC \) опирается на дугу BC. Центральный угол \( \angle BOC = 160^{\circ} \). Значит, \( \angle BAC = 160^{\circ} / 2 = 80^{\circ} \).

Угол \( \angle ABC \) опирается на дугу AC. Центральный угол \( \angle COA = 130^{\circ} \). Значит, \( \angle ABC = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ} \).

Угол \( \angle BCA \) опирается на дугу AB. Центральный угол \( \angle AOB = 70^{\circ} \). Значит, \( \angle BCA = 70^{\circ} / 2 = 35^{\circ} \).

Проверим сумму углов треугольника: \( 80^{\circ} + 65^{\circ} + 35^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: 35°.