8. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ проведена биссектриса АР. Найдите угол АВС, если угол АРВ равен 105°.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

АР — биссектриса, значит, \( \angle CAR = \angle PAR \). Пусть \( \angle CAR = \angle PAR = x \).

В треугольнике АРВ, \( \angle APB = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ} \) (смежный угол).

\( \angle APB = 75^{\circ} \).

В треугольнике АРВ, \( \angle PAB + \angle PBA + \angle APB = 180^{\circ} \).

\( \angle PAB = \angle CAR + \angle PAR = x + x = 2x \).

\( \angle PBA = \angle ABC \). Пусть \( \angle ABC = y \).

\( 2x + y + 75^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( 2x + y = 105^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике АВС: \( \angle CAB + \angle ABC = 90^{\circ} \).

\( \angle CAB = \angle CAR = x \).

\( x + y = 90^{\circ} \).

У нас есть система уравнений:

1. \( 2x + y = 105^{\circ} \)
2. \( x + y = 90^{\circ} \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (2x + y) - (x + y) = 105^{\circ} - 90^{\circ} \).

\( x = 15^{\circ} \).

Теперь найдём \( y \) из второго уравнения:

\( 15^{\circ} + y = 90^{\circ} \).

\( y = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ} \).

\( \angle ABC = 75^{\circ} \).

Ответ: 75°.