5. В равностороннем треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и BF, которые пересекаются в точке О. Найдите угол AOF.

Решение:

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.

Биссектрисы в равностороннем треугольнике являются также медианами и высотами. Они делят углы пополам.

\( \angle OAF = \angle BAC / 2 = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ} \).

\( \angle OFA \) — это угол в треугольнике AOF. Рассмотрим треугольник ABF. \( \angle FAB = 60^{\circ} \), \( \angle ABF = 60^{\circ} \), \( \angle AFB = 90^{\circ} \) (так как BF — высота).

Рассмотрим треугольник AOF. \( \angle FAO = 30^{\circ} \). \( \angle AFO = \angle AFB = 90^{\circ} \).

В треугольнике AOF сумма углов равна 180°.

\( \angle AOF + \angle FAO + \angle AFO = 180^{\circ} \).

\( \angle AOF + 30^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle AOF = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: 60°.