7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса ВЕ внешнего угла при вершине В. Определите взаимное расположение прямых ВЕ и АС.

Решение:

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).

Пусть \( \angle BAC = \angle BCA = \alpha \). Тогда \( \angle ABC = 180^{\circ} - 2\alpha \).

Внешний угол при вершине В равен \( 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 2\alpha) = 2\alpha \).

Биссектриса ВЕ делит внешний угол при вершине В пополам. Значит, \( \angle EBC = \frac{2\alpha}{2} = \alpha \).

Рассмотрим прямые ВЕ и АС и секущую ВС.

\( \angle EBC = \alpha \) (это внешний угол при В).

\( \angle BCA = \alpha \) (это угол при основании АС).

Углы \( \angle EBC \) и \( \angle BCA \) являются накрест лежащими при прямых ВЕ и АС и секущей ВС.

Так как \( \angle EBC = \angle BCA \) (оба равны \( \alpha \)), то прямые ВЕ и АС параллельны.

Ответ: 3. Прямые ВЕ и АС параллельны.