10. Два туриста отправляются одновременно в город, расстояние до которого равно 30 км. Первый турист проходит в час на километр больше второго. Поэтому он приходит на 1 час раньше. Найдите скорость второго туриста.

Решение:

Дано:

• Расстояние \( S = 30 \) км.
• Пусть \( v_2 \) — скорость второго туриста (км/ч).
• Тогда скорость первого туриста \( v_1 = v_2 + 1 \) (км/ч).
• Время первого туриста \( t_1 \), время второго туриста \( t_2 \).
• \( t_1 = t_2 - 1 \) (ч).

Найти:

• \( v_2 \)

Решение:

1. Вспомним формулу: расстояние = скорость × время \( S = v \times t \), откуда время \( t = \frac{S}{v} \).
2. Запишем время для каждого туриста:
   • \( t_1 = \frac{30}{v_1} = \frac{30}{v_2 + 1} \)
   • \( t_2 = \frac{30}{v_2} \)
3. Теперь используем условие, что первый турист пришел на 1 час раньше: \( t_1 = t_2 - 1 \). Подставим выражения для времени: \[ \frac{30}{v_2 + 1} = \frac{30}{v_2} - 1 \]
4. Чтобы решить это уравнение, приведем правую часть к общему знаменателю \( v_2 \): \[ \frac{30}{v_2 + 1} = \frac{30 - v_2}{v_2} \]
5. Теперь перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю \( v_2(v_2+1) \): \[ \frac{30}{v_2 + 1} - \frac{30 - v_2}{v_2} = 0 \] \[ \frac{30 v_2 - (30 - v_2)(v_2 + 1)}{v_2(v_2 + 1)} = 0 \]
6. Для того, чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю): \[ 30 v_2 - (30 v_2 + 30 - v_2^2 - v_2) = 0 \]
7. Раскроем скобки и упростим: \[ 30 v_2 - 30 v_2 - 30 + v_2^2 + v_2 = 0 \] \[ v_2^2 + v_2 - 30 = 0 \]
8. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( v_2 \). Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 \).
9. Найдем корни: \( v_2 = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 11}{2} \).
   • \( v_{2,1} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
   • \( v_{2,2} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \)
10. Так как скорость не может быть отрицательной, мы выбираем положительный корень.

Ответ: 5 км/ч