10) \int_{1}^{2} \frac{5x-2}{x^2} dx

Решение:

Разделим дробь на составляющие: \( \frac{5x-2}{x^2} = \frac{5x}{x^2} - \frac{2}{x^2} = \frac{5}{x} - 2x^{-2} \).

Найдем первообразную для \( f(x) = \frac{5}{x} - 2x^{-2} \). Первообразная \( F(x) = 5\ln|x| - 2\frac{x^{-1}}{-1} = 5\ln|x| + \frac{2}{x} \).

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( \int_{1}^{2} (\frac{5}{x} - \frac{2}{x^2}) dx = \left[ 5\ln|x| + \frac{2}{x} \right]_{1}^{2} \)

\( = (5\ln 2 + \frac{2}{2}) - (5\ln 1 + \frac{2}{1}) \)

\( = (5\ln 2 + 1) - (5\cdot 0 + 2) \)

\( = 5\ln 2 + 1 - 2 = 5\ln 2 - 1 \).