8) \int_{2}^{3} x(x+3)(2x-2)dx

Решение:

Сначала раскроем скобки в подынтегральной функции:

\( x(x+3)(2x-2) = x(2x^2 - 2x + 6x - 6) = x(2x^2 + 4x - 6) = 2x^3 + 4x^2 - 6x \).

Теперь найдем первообразную для \( f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 6x \). Первообразная \( F(x) = 2\frac{x^4}{4} + 4\frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - 3x^2 \).

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( \int_{2}^{3} (2x^3 + 4x^2 - 6x) dx = \left[ \frac{1}{2}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - 3x^2 \right]_{2}^{3} \)

\( = (\frac{1}{2} \cdot 3^4 + \frac{4}{3} \cdot 3^3 - 3 \cdot 3^2) - (\frac{1}{2} \cdot 2^4 + \frac{4}{3} \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2) \)

\( = (\frac{81}{2} + \frac{4}{3} \cdot 27 - 3 \cdot 9) - (\frac{16}{2} + \frac{4}{3} \cdot 8 - 3 \cdot 4) \)

\( = (40.5 + 36 - 27) - (8 + \frac{32}{3} - 12) \)

\( = (49.5) - (-4 + \frac{32}{3}) \)

\( = 49.5 - (-4 + 10.66...) \)

\( = 49.5 - 6.66... \)

\( = \frac{99}{2} - (\frac{-12+32}{3}) = \frac{99}{2} - \frac{20}{3} = \frac{297 - 40}{6} = \frac{257}{6} \).