5) \int_{1}^{4} \frac{1}{4x} dx

Решение:

Вынесем константу \( \frac{1}{4} \) за знак интеграла: \( \frac{1}{4} \int_{1}^{4} \frac{1}{x} dx \).

Первообразная для \( \frac{1}{x} \) есть \( \ln|x| \).

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( \frac{1}{4} \left[ \ln|x| \right]_{1}^{4} = \frac{1}{4} (\ln 4 - \ln 1) \). Так как \( \ln 1 = 0 \), получаем \( \frac{1}{4} \ln 4 \).

Можно упростить: \( \frac{1}{4} \ln(2^2) = \frac{1}{4} \cdot 2 \ln 2 = \frac{1}{2} \ln 2 \).