6) \int_{-2\pi}^{2\pi} \sin 2x dx

Решение:

Первообразная для \( \sin 2x \) есть \( -\frac{1}{2}\cos 2x \).

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( \int_{-2\pi}^{2\pi} \sin 2x dx = \left[ -\frac{1}{2}\cos 2x \right]_{-2\pi}^{2\pi} = (-\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 2\pi)) - (-\frac{1}{2}\cos(2 \cdot (-2\pi))) \)

\( = -\frac{1}{2}\cos(4\pi) - (-\frac{1}{2}\cos(-4\pi)) \). Так как \( \cos(4\pi) = 1 \) и \( \cos(-4\pi) = 1 \), получаем:

\( = -\frac{1}{2} \cdot 1 - (-\frac{1}{2} \cdot 1) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \).

Примечание: Интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен нулю.