4) \int_{4}^{9} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx

Решение:

Первообразная для \( f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \) будет \( F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} \).

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( \int_{4}^{9} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \left[ \sqrt{x} \right]_{4}^{9} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1 \).