10) \int_{1}^{4} \frac{5x-2}{\sqrt{x}} dx;

Решение:

Перепишем подынтегральную функцию: \(\frac{5x-2}{\sqrt{x}} = \frac{5x}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} = 5x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}}\).

Интеграл от \(5x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}}\) dx равен \(5\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\), что упрощается до \(\frac{10}{3}x^{\frac{3}{2}} - 4x^{\frac{1}{2}}\). Вычисляем определенный интеграл:

• \[ \int_{1}^{4} (5x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}}) dx = \left[ \frac{10}{3}x^{\frac{3}{2}} - 4x^{\frac{1}{2}} \right]_{1}^{4} \]
• \[ = \left( \frac{10}{3}(4)^{\frac{3}{2}} - 4(4)^{\frac{1}{2}} \right) - \left( \frac{10}{3}(1)^{\frac{3}{2}} - 4(1)^{\frac{1}{2}} \right) \]
• \[ = \left( \frac{10}{3}(8) - 4(2) \right) - \left( \frac{10}{3} - 4 \right) \]
• \[ = \left( \frac{80}{3} - 8 \right) - \left( \frac{10-12}{3} \right) \]
• \[ = \left( \frac{80-24}{3} \right) - \left( -\frac{2}{3} \right) \]
• \[ = \frac{56}{3} + \frac{2}{3} = \frac{58}{3} \]

Ответ: \(\frac{58}{3}\)