8) \int_{-2}^{1} x(x+3)(2x-2)dx;

Решение:

Сначала раскроем скобки: \(x(x+3)(2x-2) = x(2x^2 - 2x + 6x - 6) = x(2x^2 + 4x - 6) = 2x^3 + 4x^2 - 6x\).

Теперь найдем интеграл от \(2x^3 + 4x^2 - 6x\) dx, который равен \(2\frac{x^4}{4} + 4\frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2}\), что упрощается до \(\frac{1}{2}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - 3x^2\). Вычисляем определенный интеграл:

• \[ \int_{-2}^{1} (2x^3 + 4x^2 - 6x) dx = \left[ \frac{1}{2}x^4 + \frac{4}{3}x^3 - 3x^2 \right]_{-2}^{1} \]
• \[ = \left( \frac{1}{2}(1)^4 + \frac{4}{3}(1)^3 - 3(1)^2 \right) - \left( \frac{1}{2}(-2)^4 + \frac{4}{3}(-2)^3 - 3(-2)^2 \right) \]
• \[ = \left( \frac{1}{2} + \frac{4}{3} - 3 \right) - \left( \frac{1}{2}(16) + \frac{4}{3}(-8) - 3(4) \right) \]
• \[ = \left( \frac{3+8-18}{6} \right) - \left( 8 - \frac{32}{3} - 12 \right) \]
• \[ = \left( -\frac{7}{6} \right) - \left( -4 - \frac{32}{3} \right) \]
• \[ = -\frac{7}{6} + 4 + \frac{32}{3} = \frac{-7 + 24 + 64}{6} = \frac{81}{6} = \frac{27}{2} \]

Ответ: \(\frac{27}{2}\)