5) \int_{1}^{e} \frac{1}{4x} dx;

Решение:

Интеграл от \(\frac{1}{4x}\) dx равен \(\frac{1}{4} \ln|x|\). Вычисляем определенный интеграл:

• \[ \int_{1}^{e} \frac{1}{4x} dx = \left[ \frac{1}{4} \ln|x| \right]_{1}^{e} = \frac{1}{4} \ln(e) - \frac{1}{4} \ln(1) = \frac{1}{4}(1) - \frac{1}{4}(0) = \frac{1}{4} \]

Ответ: \(\frac{1}{4}\)