10. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Расстояние от точки А до точки касания равно 10 см, угол между касательными равен 120°. Найти радиус окружности.

Решение:

Пусть точки касания будут B и C. Точка А находится вне окружности. AB и AC — касательные. OB и OC — радиусы, проведенные к точкам касания. Радиусы, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательным, поэтому ∠ABO = ∠ACO = 90°.

Треугольники ABO и ACO равны (по гипотенузе AO и катету OB=OC, или по гипотенузе AO и острому углу ∠BAO = ∠CAO).

Угол между касательными ∠BAC = 120°.

Так как треугольники ABO и ACO равны, то ∠BAO = ∠CAO = ∠BAC / 2 = 120° / 2 = 60°.

В прямоугольном треугольнике ABO:

AB = 10 см (расстояние от точки А до точки касания).

Угол ∠BAO = 60°.

Мы ищем радиус OB.

Используем тангенс угла:

tan(∠BAO) = OB / AB

tan(60°) = OB / 10 см

√3 = OB / 10 см

OB = 10√3 см.

Ответ: 10√3 см