6. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1=43°, ∠2= 63°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Проведем прямую через вершину угла ∠3, параллельную прямым m и n. Обозначим эту прямую как k.

Угол ∠1 и угол, образованный пересечением секущей с прямой m и верхней частью угла ∠3, являются накрест лежащими. Но это не так.

Угол ∠1 и внутренний односторонний угол с ∠2 являются сумма 180. Это тоже не так.

Проведем прямую через вершину угла ∠3, параллельную m и n.

Пусть ∠3 состоит из двух частей: ∠3a и ∠3b.

Угол ∠1 = 43°. Угол между секущей и прямой m, соответствующий ∠2, равен 63°.

Пусть секущая, образующая ∠1, пересекает прямую m и прямую n.

Угол, смежный с ∠1, равен 180° - 43° = 137°.

Угол, накрест лежащий с ∠1 (если бы он был), был бы 43°.

Рассмотрим прямую m и секущую, которая образует ∠1. Угол, внутренний накрест лежащий с ∠1, равен 43°.

Рассмотрим прямую n и ту же секущую. Угол, соответствующий ∠1, равен 43°.

Рассмотрим прямую m и секущую, которая образует ∠2. Угол, соответствующий ∠2, равен 63°.

Рассмотрим прямую n и ту же секущую. Угол, внутренний накрест лежащий с ∠2, равен 63°.

Угол ∠3 находится между двумя параллельными прямыми m и n. Секущая, которая формирует ∠1, и секущая, которая формирует ∠2, пересекаются.

Пусть точка пересечения двух секущих — вершина угла ∠3. Это не так, угол ∠3 находится между параллельными прямыми.

Пересечение двух секущих находится вне области между параллельными прямыми.

Пусть точка, где пересекаются секущие, образующие ∠1 и ∠2, будет V. Угол при V равен 180° - 43° - 63° = 74° (если бы они образовывали треугольник).

Проведем через вершину угла ∠3 прямую, параллельную m и n. Обозначим ее k.

Угол ∠1 = 43°. Этот угол является внешним углом треугольника, образованного секущей, прямой m и другой секущей. Это не так.

Пусть точка пересечения секущей (образующей ∠1) с прямой n будет A. Пусть точка пересечения секущей (образующей ∠2) с прямой n будет B. Пусть вершина угла ∠3 будет C.

Угол ∠1 = 43°. Угол между секущей и прямой m, который является накрест лежащим для внутреннего угла при пересечении с n, равен 43°.

Угол ∠2 = 63°. Угол между секущей и прямой n, который является внутренним накрест лежащим для угла при пересечении с m, равен 63°.

Пусть точка пересечения секущих — P. Угол ∠P = 180° - (43° + 63°) = 74° (если бы они были частью треугольника).

Угол ∠3 образован двумя секущими. Одна секущая образует с прямой m угол 43° (смежный с ∠1) или накрест лежащий с ∠1.

Угол между секущей и прямой m, который является внутренним односторонним с ∠1, равен 180° - 43° = 137°.

Угол между секущей и прямой m, накрест лежащий с ∠1, равен 43°.

Угол между секущей и прямой n, накрест лежащий с ∠2, равен 63°.

Рассмотрим угол ∠3. Он состоит из двух частей, образованных двумя секущими.

Пусть секущая, образующая ∠1, пересекает прямую n под углом α. Тогда α = 43° (накрест лежащие). Этот угол смежен с частью ∠3.

Пусть секущая, образующая ∠2, пересекает прямую m под углом β. Тогда β = 63° (накрест лежащие). Этот угол смежен с другой частью ∠3.

Проведем вспомогательную прямую через вершину угла ∠3, параллельную m и n.

Угол ∠1 = 43°. Угол между секущей и прямой m, который находится между параллельными прямыми, равен 180° - 43° = 137° (внутренние односторонние).

Угол, который образует первая секущая с прямой n, накрест лежащий с ∠1, равен 43°.

Угол, который образует вторая секущая с прямой m, накрест лежащий с ∠2, равен 63°.

Пусть вершина угла ∠3 — точка C. Угол ∠3 состоит из двух углов: ∠3a и ∠3b.

Угол ∠1 = 43°. Угол между секущей и прямой m, который является внутренним односторонним для угла на пересечении с n, равен 180 - 43 = 137. Это не помогает.

Угол ∠1 = 43°. Угол, накрест лежащий с ∠1, равен 43°.

Угол ∠2 = 63°. Угол, накрест лежащий с ∠2, равен 63°.

Угол ∠3 — это угол между двумя секущими. Одна секущая образует с прямой m угол, смежный с ∠1, т.е. 180°-43°=137°. Или накрест лежащий 43°.

Угол ∠3 = ∠3a + ∠3b.

Угол ∠1 = 43°. Угол, накрест лежащий с ним, равен 43°.

Угол ∠2 = 63°. Угол, накрест лежащий с ним, равен 63°.

Пусть секущая, которая образует ∠1, пересекает прямую n. Угол, накрест лежащий с ∠1, равен 43°. Этот угол является частью угла ∠3.

Пусть секущая, которая образует ∠2, пересекает прямую m. Угол, накрест лежащий с ∠2, равен 63°. Этот угол является другой частью угла ∠3.

∠3 = 43° + 63° = 106°.

Проверим: если провести прямую через вершину угла ∠3, параллельную m и n. Тогда угол ∠1 = 43° (как накрест лежащий с частью ∠3). Угол ∠2 = 63° (как накрест лежащий с другой частью ∠3). Тогда ∠3 = 43° + 63° = 106°.

Ответ: 106