3. В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC=78 и BC=BM. Найдите AH.

Решение:

Поскольку BM — медиана, она делит сторону AC пополам. Значит, AM = MC = AC / 2 = 78 / 2 = 39.

В треугольнике BCM, BC = BM, следовательно, он равнобедренный. BH — высота в равнобедренном треугольнике BCM, проведенная к основанию BC. Это неверно. BH - высота к AC.

Рассмотрим треугольник BCM. Так как BC = BM, то треугольник BCM — равнобедренный. BH — высота, значит BH перпендикулярно AC.

Рассмотрим треугольник BHC. Это прямоугольный треугольник. HC = MC - MH = 39 - MH.

Рассмотрим треугольник BHM. Это прямоугольный треугольник. BM² = BH² + MH².

Рассмотрим треугольник BHC. BC² = BH² + HC².

Так как BC = BM, то BC² = BM².

BH² + HC² = BH² + MH²

HC² = MH²

HC = MH (так как длины положительны)

Подставляем HC = 39 - MH:

39 - MH = MH

39 = 2 * MH

MH = 39 / 2 = 19.5

AH = AM + MH = 39 + 19.5 = 58.5

Ответ: 58.5