10. \(\log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\log_4 5\cdot\ldots\cdot\log_{63}64\) (цепочка)

Используем формулу перехода к новому основанию: \(\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}\). В произведении соседние множители телескопически сокращаются:

\(\log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\log_4 5\cdots\log_{63}64=\dfrac{\ln 3}{\ln 2}\cdot\dfrac{\ln 4}{\ln 3}\cdots\dfrac{\ln 64}{\ln 63}=\dfrac{\ln 64}{\ln 2}=\log_2 64=6\).

Ответ: 6.