10. На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла BAC.

Пусть \(\angle BAC=2\alpha\). Так как \(AB=AC=AD\), точки B, C и D лежат на окружности с центром A и радиусом \(AB\). Поэтому центральный угол \(\angle BDC\) является вписанным углом, опирающимся на дугу BC, не содержащую D. Угол между лучами AB и AC равен \(2\alpha\), а луч AD — биссектриса, поэтому D лежит на меньшей дуге BC, и угол \(BDC\) опирается на большую дугу BC. Тогда

\[\angle BDC=180^\circ-\alpha.\]

По условию \(180^\circ-\alpha=160^\circ\), значит \(\alpha=20^\circ\). Следовательно,

\[\angle BAC=2\alpha=40^\circ.\]

Ответ: \(40^\circ\).