4. Углы треугольника ABC относятся так: ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3. Биссектриса BM угла ABC равна 10. Найдите длину отрезка MC.

Пусть углы равны \(x\), \(2x\), \(3x\). Тогда \(6x=180^\circ\), поэтому \(\angle A=30^\circ\), \(\angle B=60^\circ\), \(\angle C=90^\circ\). Биссектриса \(BM\) делит угол B пополам, значит \(\angle MBC=30^\circ\). В треугольнике BMC углы при B и C равны \(30^\circ\) и \(90^\circ\), поэтому \(\angle BMC=60^\circ\). Сторона \(BM=10\) лежит напротив угла \(30^\circ\), а сторона \(MC\) — напротив угла \(60^\circ\). Следовательно, \(MC=10\sqrt3\).

Ответ: \(10\sqrt3\).