10. Найдите \( g\alpha\), если \(\dfrac{5\sin\alpha+3\cos\alpha+1}{5\sin\alpha+3\cos\alpha+4}=\dfrac{1}{4}\).

Обозначим \(x=5\sin\alpha+3\cos\alpha\). Тогда \(\dfrac{x+1}{x+4}=\dfrac14\), поэтому \(4(x+1)=x+4\), откуда \(3x=0\) и \(x=0\).

Следовательно, \(5\sin\alpha+3\cos\alpha=0\). Здесь \(\cos\alpha\ne0\), поскольку при \(\cos\alpha=0\) равенство невозможно. Делим на \(\cos\alpha\): \(5 g\alpha+3=0\), значит, \( g\alpha=-\dfrac35\).

Ответ: \(-\dfrac35\).