10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=2x³-3x² - 12х +1$$ на отрезке $$[4; 5]$$.

Решение:

1. Найдем производную функции.
   $$y' = (2x³-3x² - 12х +1)'$$
   $$y' = 6x² - 6x - 12$$
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.
   $$6x² - 6x - 12 = 0$$
   Разделим на 6: $$x² - x - 2 = 0$$.
   Найдем корни квадратного уравнения: $$D = (-1)² - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$$.
   $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1+3}{2} = 2$$.
   $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1-3}{2} = -1$$.
3. Проверим, принадлежат ли критические точки заданному отрезку $$[4; 5]$$.
   Точки $$x=2$$ и $$x=-1$$ не принадлежат отрезку $$[4; 5]$$.
   Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функции будут достигаться на концах отрезка.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка.
   
   • При $$x=4$$:
     $$y(4) = 2(4)³ - 3(4)² - 12(4) + 1$$
     $$y(4) = 2(64) - 3(16) - 48 + 1$$
     $$y(4) = 128 - 48 - 48 + 1 = 33$$.
   • При $$x=5$$:
     $$y(5) = 2(5)³ - 3(5)² - 12(5) + 1$$
     $$y(5) = 2(125) - 3(25) - 60 + 1$$
     $$y(5) = 250 - 75 - 60 + 1 = 116$$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно $$116$$ (при $$x=5$$), наименьшее значение равно $$33$$ (при $$x=4$$).