5. Найдите первообразные функции: $$f(x) = 2x + x^2$$.

Решение:

Чтобы найти первообразную функции $$F(x)$$, нужно проинтегрировать функцию $$f(x)$$:

$$F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ (2x + x^2) dx$$

Используем правила интегрирования:

∫ $$x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

∫ $$k ∙ f(x) dx = k ∙ ∫ f(x) dx$$

Применяем правила:

$$F(x) = ∫ 2x dx + ∫ x^2 dx$$

$$F(x) = 2 ∙ ∫ x^1 dx + ∫ x^2 dx$$

$$F(x) = 2 ∙ \frac{x^{1+1}}{1+1} + \frac{x^{2+1}}{2+1} + C$$

$$F(x) = 2 ∙ \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + C$$

$$F(x) = x^2 + \frac{x^3}{3} + C$$

где $$C$$ — произвольная постоянная.

Ответ: $$F(x) = x^2 + \frac{x^3}{3} + C$$.