6. Площадь боковой поверхности конуса равна $$20\pi$$ см², а площадь его основания на $$4\pi$$ см² меньше. Найдите объём конуса.

Дано:

• Площадь боковой поверхности конуса $$S_{бок} = 20\pi$$ см².
• Площадь основания $$S_{осн}$$ на $$4\pi$$ см² меньше $$S_{бок}$$.

Найти: Объём конуса $$V$$.

Решение:

1. Найдем площадь основания конуса.
   $$S_{осн} = S_{бок} - 4\pi = 20\pi - 4\pi = 16\pi$$ см².
2. Найдем радиус основания конуса.
   Площадь основания круга вычисляется по формуле $$S_{осн} = \pi r^2$$.
   $$16\pi = \pi r^2$$
   $$r^2 = 16$$
   $$r = 4$$ см (радиус не может быть отрицательным).
3. Найдем образующую конуса.
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $$S_{бок} = \pi r l$$, где $$l$$ — образующая.
   $$20\pi = \pi ∙ 4 ∙ l$$
   $$20\pi = 4\pi l$$
   $$l = \frac{20\pi}{4\pi} = 5$$ см.
4. Найдем высоту конуса.
   Радиус, высота и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, где $$l$$ — гипотенуза. По теореме Пифагора: $$h^2 + r^2 = l^2$$.
   $$h^2 + 4^2 = 5^2$$
   $$h^2 + 16 = 25$$
   $$h^2 = 25 - 16 = 9$$
   $$h = 3$$ см (высота не может быть отрицательной).
5. Найдем объём конуса.
   Объём конуса вычисляется по формуле $$V = \frac{1}{3} S_{осн} h$$.
   $$V = \frac{1}{3} ∙ 16\pi ∙ 3$$
   $$V = 16\pi$$ см³

Ответ: $$16\pi$$ см³.