7. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды, равная 12 см, делит гипотенузу этого треугольника пополам. Найдите боковые рёбра пирамиды.

Дано:

• Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами $$a=6$$ см, $$b=8$$ см.
• Высота пирамиды $$H = 12$$ см.
• Высота пирамиды делит гипотенузу пополам.

Найти: Боковые рёбра пирамиды ($$l_1, l_2, l_3$$).

Решение:

1. Найдем гипотенузу основания ($$c$$).
   По теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2$$.
   $$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$.
   $$c = \sqrt{100} = 10$$ см.
2. Найдем расстояние от вершины прямого угла до основания высоты пирамиды.
   Высота пирамиды $$H$$ опущена из вершины прямого угла основания. Так как эта высота делит гипотенузу пополам, то точка её основания — середина гипотенузы. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, точка, из которой проведена высота пирамиды, находится на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника основания.
3. Найдем расстояние от вершины прямого угла до вершин гипотенузы.
   Это расстояние равно половине гипотенузы: $$\frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ см.
4. Найдем боковые рёбра.
   Боковые рёбра пирамиды являются гипотенузами прямоугольных треугольников, катетами которых являются высота пирамиды ($$H$$) и расстояния от вершины прямого угла до вершин основания.
   
   • Первое боковое ребро ($$l_1$$): Катеты $$H=12$$ см и $$5$$ см.
   
   $$l_1^2 = H^2 + 5^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$$.
   $$l_1 = \sqrt{169} = 13$$ см.
   • Второе боковое ребро ($$l_2$$): Катеты $$H=12$$ см и катет основания $$a=6$$ см.
   
   $$l_2^2 = H^2 + a^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180$$.
   $$l_2 = \sqrt{180} = \sqrt{36 ∙ 5} = 6\sqrt{5}$$ см.
   • Третье боковое ребро ($$l_3$$): Катеты $$H=12$$ см и катет основания $$b=8$$ см.
   
   $$l_3^2 = H^2 + b^2 = 12^2 + 8^2 = 144 + 64 = 208$$.
   $$l_3 = \sqrt{208} = \sqrt{16 ∙ 13} = 4\sqrt{13}$$ см.

Ответ: Боковые рёбра пирамиды равны $$13$$ см, $$6\sqrt{5}$$ см и $$4\sqrt{13}$$ см.