10. Найдите производную функции: \(y = 4x^2 - 2 \cos\frac{1}{2}x\)

Решение:

Найдем производную функции, используя правила дифференцирования:

\(y' = (4x^2 - 2 \cos\frac{1}{2}x)'\)

\(y' = (4x^2)' - (2 \cos\frac{1}{2}x)'\)

Производная \((4x^2)\) равна \(4 \cdot 2x = 8x\).

Производная \(\cos u\) равна \(-\sin u \cdot u'\).

В нашем случае \(u = \frac{1}{2}x\), \(u' = \frac{1}{2}\).

Производная \( -2 \cos\frac{1}{2}x \) равна \( -2 \cdot (-\sin\frac{1}{2}x) \cdot \frac{1}{2} = \sin\frac{1}{2}x \).

Следовательно, \(y' = 8x + \sin\frac{1}{2}x\).

Ответ: \(y' = 8x + \sin\frac{1}{2}x\).