13. Вычислите: \(\lim_{x\to 2} \frac{x^2-2x}{x^2-4}\)

Решение:

1. При подстановке \( x = 2 \) в выражение получаем неопределенность вида \( \frac{0}{0} \): \( \frac{2^2-2\cdot 2}{2^2-4} = \frac{4-4}{4-4} = \frac{0}{0} \).
2. Разложим числитель и знаменатель на множители:
• Числитель: \( x^2 - 2x = x(x - 2) \).
• Знаменатель: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \) (разность квадратов).
3. Сократим дробь: \( \frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x}{x + 2} \) (при \( x \neq 2 \)).
4. Теперь вычислим предел от сокращенной дроби: \( \lim_{x\to 2} \frac{x}{x + 2} \).
5. Подставим \( x = 2 \): \( \frac{2}{2 + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

Ответ: \(\frac{1}{2}\).