13. Вычислите: \(\lim_{x\to 2} \frac{x^2-2x}{x^2-4}\)

Решение:

1. При \(x=2\) получаем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Раскроем ее, разложив числитель и знаменатель на множители.

Числитель: \(x^2 - 2x = x(x - 2)\).

Знаменатель: \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\).

2. Подставим разложенные выражения в предел:

\(\lim_{x\to 2} \frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}\)

3. Сократим \((x - 2)\), так как \(x \to 2\), то \(x
e 2\) и \(x-2
e 0\):

\(\lim_{x\to 2} \frac{x}{x + 2}\)

4. Теперь подставим \(x = 2\):

\(\frac{2}{2 + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Ответ: \(\frac{1}{2}\).