8. Решите уравнение: \(\log_4 (5 + 2x) = 4 \log_4 3\)

Решение:

1. Перенесем коэффициент 4 в показатель степени аргумента логарифма: \( \log_4 (5 + 2x) = \log_4 (3^4) \).
2. Вычислим \( 3^4 \): \( 3^4 = 81 \).
3. Получим: \( \log_4 (5 + 2x) = \log_4 81 \).
4. Так как основания логарифмов равны, приравняем аргументы: \( 5 + 2x = 81 \).
5. Решим полученное линейное уравнение: \( 2x = 81 - 5 \)
6. \( 2x = 76 \)
7. \( x = \frac{76}{2} = 38 \).
8. Проверим условие существования логарифма: \( 5 + 2(38) = 5 + 76 = 81 \). \( 81 > 0 \), значит решение подходит.

Ответ: 38.