10. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 14 и диагональю 15. Ровно две боковые грани призмы — квадраты. Найдите площадь поверхности и объем призмы.

Решение:

1. Найдём высоту трапеции и боковую сторону.

Пусть основания трапеции \( a = 14 \) и \( b = 4 \). Диагональ \( d = 15 \). Боковые грани призмы — квадраты, значит, высота призмы \( H \) равна длине бокового ребра основания трапеции \( c \).

Проведём высоты из концов меньшего основания \( b \) к большему основанию \( a \). Получим два прямоугольных треугольника с катетами \( h \) (высота трапеции) и \( x \), где \( x = \frac{a-b}{2} = \frac{14-4}{2} = 5 \).

Используем свойство трапеции: квадрат диагонали равен сумме квадратов боковой стороны и большего основания минус удвоенное произведение боковой стороны на отрезок, отсекаемый высотой от большего основания, или квадрат диагонали равен сумме квадратов высоты и отрезка, равного большему основанию минус этот отрезок.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю \( d \), высотой \( h \) и отрезком \( a-x \).

\[ d^2 = h^2 + (a-x)^2 \]

\( 15^2 = h^2 + (14-5)^2 \)
\( 225 = h^2 + 9^2 \)
\( 225 = h^2 + 81 \)

\( h^2 = 225 - 81 = 144 \)
\( h = \sqrt{144} = 12 \) см.

Теперь найдём боковую сторону \( c \) трапеции, используя прямоугольный треугольник с катетами \( h \) и \( x \):

\[ c^2 = h^2 + x^2 \]

\( c^2 = 12^2 + 5^2 \)
\( c^2 = 144 + 25 = 169 \)

\( c = \sqrt{169} = 13 \) см.

Высота призмы \( H = c = 13 \) см.

2. Найдём площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \) равна произведению периметра основания \( P \) на высоту призмы \( H \).

Периметр основания \( P = a + b + 2c = 14 + 4 + 2 \cdot 13 = 18 + 26 = 44 \) см.

\[ S_{бок} = P \(\cdot\) H = 44 \(\cdot\) 13 = 572 \) см².

3. Найдём площадь основания призмы.

Площадь трапеции \( S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h \).

\[ S_{осн} = \(\frac{14+4}{2}\) \(\cdot\) 12 = \(\frac{18}{2}\) \(\cdot\) 12 = 9 \(\cdot\) 12 = 108 \) см².

4. Найдём площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности \( S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} \).

\[ S_{полн} = 572 + 2 \(\cdot\) 108 = 572 + 216 = 788 \) см².

5. Найдём объем призмы.

Объем призмы \( V = S_{осн} \cdot H \).

\[ V = 108 \(\cdot\) 13 = 1404 \) см³.

Ответ: площадь поверхности призмы 788 см², объем призмы 1404 см³.