4. Сократите дробь $$\frac{a^{\frac{2}{5}} - b^{\frac{2}{5}}}{a^{\frac{1}{5}} + b^{\frac{1}{5}}}$$

Объяснение:

Для сокращения дроби заметим, что числитель является разностью квадратов.

Представим $$a^{\frac{2}{5}}$$ как $$(a^{\frac{1}{5}})^2$$ и $$b^{\frac{2}{5}}$$ как $$(b^{\frac{1}{5}})^2$$.

Тогда числитель будет иметь вид: $$(a^{\frac{1}{5}})^2 - (b^{\frac{1}{5}})^2$$.

Используем формулу разности квадратов: $$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$$.

В нашем случае $$x = a^{\frac{1}{5}}$$ и $$y = b^{\frac{1}{5}}$$.

Значит, числитель можно разложить как:

$$(a^{\frac{1}{5}} - b^{\frac{1}{5}})(a^{\frac{1}{5}} + b^{\frac{1}{5}})$$

Теперь подставим это обратно в дробь:

$$\frac{(a^{\frac{1}{5}} - b^{\frac{1}{5}})(a^{\frac{1}{5}} + b^{\frac{1}{5}})}{a^{\frac{1}{5}} + b^{\frac{1}{5}}}$$

Сократим общий множитель $$(a^{\frac{1}{5}} + b^{\frac{1}{5}})$$ в числителе и знаменателе:

$$a^{\frac{1}{5}} - b^{\frac{1}{5}}$$

Ответ: $$a^{\frac{1}{5}} - b^{\frac{1}{5}}$$