6. Решите неравенство \( \log_{0,5}(x^2 - 3x) \ge \log_{0,5}(2x - 4) \), учитывая область определения и свойство монотонности логарифмической функции.

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_{0,5}(x^2 - 3x) \ge \log_{0,5}(2x - 4) \) необходимо учесть следующие условия:

1. Область определения (ООЗ): Аргументы логарифмов должны быть положительны.
• \( x^2 - 3x > 0 \) => \( x(x-3) > 0 \) => \( x < 0 \) или \( x > 3 \).
• \( 2x - 4 > 0 \) => \( 2x > 4 \) => \( x > 2 \).

Объединяя оба условия, получаем \( x > 3 \).

2. Решение неравенства: Так как основание логарифма \( 0,5 \) меньше 1, функция \( y = \log_{0,5}(x) \) является убывающей. При решении неравенства знаки нужно перевернуть:
   \[ x^2 - 3x \le 2x - 4 \]
   

   Перенесём все члены в одну сторону:

   \[ x^2 - 3x - 2x + 4 \le 0 \]
   

   \( x^2 - 5x + 4 \le 0 \)
   Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения \( x^2 - 5x + 4 = 0 \):

   \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]
   

   \( x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \)
   \( x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \)

   Парабола \( y = x^2 - 5x + 4 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 5x + 4 \le 0 \) при \( 1 \le x \le 4 \).

Теперь объединим условие области определения \( x > 3 \) с решением неравенства \( 1 \le x \le 4 \).

Пересечением этих интервалов является \( 3 < x \le 4 \).

Ответ: \( (3; 4] \).