6. Решите неравенство $$\log_{0,5}(x^2 - 3x) \ge \log_{0,5}(2x - 4)$$, учитывая область определения и свойство монотонности логарифмической функции.

Объяснение:

Для решения данного логарифмического неравенства необходимо учесть два основных условия:

1. Область определения (ОДЗ): Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.
• $$x^2 - 3x > 0$$
• $$2x - 4 > 0$$
2. Свойство монотонности логарифмической функции: Так как основание логарифма $$0,5 < 1$$, то при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.

Шаг 1: Находим ОДЗ

• Первое неравенство: $$x^2 - 3x > 0$$
• $$x(x - 3) > 0$$
• Корни: $$x=0, x=3$$.
• Решение: $$x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$$.
• Второе неравенство: $$2x - 4 > 0$$
• $$2x > 4$$
• $$x > 2$$
• Общая ОДЗ: Пересекаем решения обоих неравенств.
• $$(-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$$ и $$(2, +\infty)$$.
• Пересечение: $$x \in (3, +\infty)$$.

Шаг 2: Решаем логарифмическое неравенство

• $$\\log_{0,5}(x^2 - 3x) \ge \log_{0,5}(2x - 4)$$
• Так как основание $$0,5 < 1$$, меняем знак неравенства:
• $$x^2 - 3x \le 2x - 4$$
• Переносим все в одну сторону:
• $$x^2 - 3x - 2x + 4 \le 0$$
• $$x^2 - 5x + 4 \le 0$$

Шаг 3: Решаем квадратное неравенство

• Найдем корни уравнения $$x^2 - 5x + 4 = 0$$.
• По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 5$$, $$x_1 imes x_2 = 4$$.
• Корни: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 4$$.
• Квадратный трехчлен $$x^2 - 5x + 4$$ имеет параболу ветвями вверх. Неравенство $$x^2 - 5x + 4 \le 0$$ выполняется между корнями.
• Решение: $$x \in [1, 4]$$.

Шаг 4: Объединяем решение с ОДЗ

• Решение квадратного неравенства: $$x \in [1, 4]$$.
• Общая ОДЗ: $$x \in (3, +\infty)$$.
• Пересекаем эти два промежутка: $$[1, 4] \cap (3, +\infty) = (3, 4]$$.

Ответ: $$x \in (3, 4]$$