9. Найдите наименьший положительный корень уравнения $$5^{2 ​ ​​​​​​​​​​​​\cos^2 x - \sin^2 x - 1} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$

Объяснение:

Упростим показатель степени, используя тригонометрические тождества.

Вспомним основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$.

Из него следует, что $$\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$$.

Тогда показатель степени примет вид:

$$\cos^2 x - \sin^2 x - 1 = (\cos^2 x - 1) - \sin^2 x = -\sin^2 x - \sin^2 x = -2\sin^2 x$$.

Теперь уравнение выглядит так:

$$5^{-2\sin^2 x} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{1}{\sqrt{5}} = 5^{-\frac{1}{2}}$$

Теперь уравнение имеет вид:

$$5^{-2\sin^2 x} = 5^{-\frac{1}{2}}$$

Приравниваем показатели степеней:

$$-2\sin^2 x = -\frac{1}{2}$$

Разделим обе части на -2:

$$\sin^2 x = \frac{1}{4}$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$$\sin x = \pm\frac{1}{2}$$

Теперь найдем значения $$x$$, при которых $$\sin x = \frac{1}{2}$$ или $$\sin x = -\frac{1}{2}$$.

Случай 1: $$\sin x = \frac{1}{2}$$

Наименьший положительный корень: $$x = \frac{\pi}{6}$$.

Случай 2: $$\sin x = -\frac{1}{2}$$

Наименьший положительный корень: $$x = -\frac{\pi}{6}$$ (но нам нужен положительный) или $$x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$$. Наименьший положительный корень для этого случая будет $$x = \frac{7\pi}{6}$$.

Сравнивая корни из обоих случаев: $$\frac{\pi}{6}$$ и $$\frac{7\pi}{6}$$.

Наименьший положительный корень — $$\frac{\pi}{6}$$.

Ответ: $$\frac{\pi}{6}$$