5. Вычислите значение выражения $$\sin\left(\mathrm{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right)$$.

Объяснение:

1. Находим значение арктангенса:
• Пусть $$\alpha = \mathrm{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$.
• Это значит, что $$\mathrm{ctg}(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$.
• Мы знаем, что $$\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$.
• Так как котангенс — функция нечетная, $$\mathrm{ctg}(-\alpha) = -\mathrm{ctg}(\alpha)$$.
• Следовательно, $$\mathrm{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$.
• Значит, $$\alpha = -\frac{\pi}{3}$$.
• (Примечание: область значений арккотангенса — $$(0; \pi)$$. Однако, если рассматривать функцию $$y=\mathrm{ctg}(x)$$, то значение $$-\frac{\pi}{3}$$ является одним из возможных аргументов, для которых котангенс равен $$-\frac{\sqrt{3}}{3}$$. В школьной программе часто используют $${\rm arcctg } x \in (0, \pi)$$, но если мы хотим найти именно такое $$x$$, то $$\mathrm{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$ имеет решения $$x = \frac{2\pi}{3} + \pi k$$. Если мы возьмем $$k=-1$$, то получим $$x = \frac{2\pi}{3} - \pi = -\frac{\pi}{3}$$. Если же использовать стандартный диапазон, то $$\mathrm{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}$$. Давайте продолжим с обоими вариантами, чтобы убедиться в корректности.)
2. Вычисляем синус:
• Вариант 1 (используя $$\alpha = -\frac{\pi}{3}$$):
• $$\sin(\alpha) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$.
• Вариант 2 (используя $$\alpha = \frac{2\pi}{3}$$):
• $$\sin(\alpha) = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$$.
• Мы знаем, что $$\sin(\pi - x) = \sin(x)$$.
• $$\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.
• Несоответствие: Существует распространенная путаница с областью значений арккотангенса. В некоторых источниках (особенно в старших классах и университетской математике) область значений $$\mathrm{arcctg}(x)$$ определяется как $$(0, \pi)$$. В таком случае, $$\mathrm{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}$$.
• Если же использовать более широкий диапазон, как в тригонометрических функциях, где $$\mathrm{ctg}(x) = y$$, то $$x = \mathrm{arcctg}(y) + \pi k$$.
• Для $$\mathrm{ctg}(x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$, мы знаем, что $$\mathrm{ctg}(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$.
• Значит, $$\mathrm{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}$$.
• Тогда $$\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$