8. Найдите точки графика функции $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$$, в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.

Объяснение:

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (оси X), когда ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания.

Шаг 1: Найдем производную функции $$f(x)$$.

$$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$$

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 3x)$$

$$f'(x) = 3x^2 - 3 imes 2x + 3$$

$$f'(x) = 3x^2 - 6x + 3$$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, где касательная параллельна оси абсцисс.

$$f'(x) = 0$$

$$3x^2 - 6x + 3 = 0$$

Разделим все члены уравнения на 3:

$$x^2 - 2x + 1 = 0$$

Это формула квадрата разности:

$$(x - 1)^2 = 0$$

Отсюда следует, что $$x - 1 = 0$$, значит, $$x = 1$$.

Шаг 3: Найдем значение функции $$f(x)$$ в найденной точке $$x=1$$.

$$f(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 3(1)$$

$$f(1) = 1 - 3 imes 1 + 3$$

$$f(1) = 1 - 3 + 3$$

$$f(1) = 1$$

Таким образом, точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, имеет координаты (1; 1).

Ответ: (1; 1)