7. Площадь сферы равна 5\(\pi\) см². Длина линии пересечения сферы и секущей плоскости равна \(\pi\) см. Найдите расстояние от центра сферы до секущей плоскости.

Решение:

Обозначим:

• \( S \) — площадь поверхности сферы.
• \( R \) — радиус сферы.
• \( L \) — длина линии пересечения сферы и секущей плоскости (окружность).
• \( r \) — радиус этой окружности.
• \( d \) — расстояние от центра сферы до секущей плоскости.

1. Найдём радиус сферы R:

Площадь сферы вычисляется по формуле \( S = 4\pi R^2 \).

По условию \( S = 5\pi \) см².

\[ 4\pi R^2 = 5\pi \]

Разделим обе части на \( 4\pi \):

\[ R^2 = \frac{5}{4} \]

\( R = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \) см.

2. Найдём радиус окружности r:

Длина окружности вычисляется по формуле \( L = 2\pi r \).

По условию \( L = \pi \) см.

\[ 2\pi r = \pi \]

Разделим обе части на \( \pi \):

\[ 2r = 1 \]

\( r = \frac{1}{2} \) см.

3. Найдём расстояние d:

Радиус сферы \( R \), радиус окружности \( r \) и расстояние от центра сферы до плоскости \( d \) образуют прямоугольный треугольник, где \( R \) — гипотенуза. По теореме Пифагора:

\[ R^2 = r^2 + d^2 \]

Подставим известные значения \( R^2 = \frac{5}{4} \) и \( r = \frac{1}{2} \) (следовательно, \( r^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \)):

\[ \frac{5}{4} = \frac{1}{4} + d^2 \]

Выразим \( d^2 \):

\[ d^2 = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

\( d = \sqrt{1} = 1 \) см.

Ответ: 1 см.