7. Площадь сферы равна $$5\pi$$ см². Длина линии пересечения сферы и секущей плоскости равна $$\pi$$ см. Найдите расстояние от центра сферы до секущей плоскости.

Объяснение:

Нам дано:

• Площадь сферы $$S = 5\pi$$ см².
• Длина линии пересечения (окружности) $$L = \pi$$ см.

Нужно найти расстояние от центра сферы до секущей плоскости, которое равно радиусу окружности сечения $$r$$.

Шаг 1: Находим радиус сферы (R).

Формула площади сферы: $$S = 4\pi R^2$$.

Подставляем известное значение площади:

$$5\pi = 4\pi R^2$$

Делим обе стороны на $$\pi$$:

$$5 = 4R^2$$

$$R^2 = \frac{5}{4}$$

$$R = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$ см.

Шаг 2: Находим радиус окружности сечения (r).

Формула длины окружности: $$L = 2\pi r$$.

Подставляем известное значение длины:

$$\pi = 2\pi r$$

Делим обе стороны на $$\pi$$:

$$1 = 2r$$

$$r = \frac{1}{2}$$ см.

Шаг 3: Находим расстояние от центра сферы до секущей плоскости (h).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы ($$R$$), радиусом окружности сечения ($$r$$) и расстоянием от центра сферы до плоскости ($$h$$). В этом треугольнике $$R$$ является гипотенузой.

По теореме Пифагора: $$R^2 = r^2 + h^2$$.

Выразим $$h^2$$:

$$h^2 = R^2 - r^2$$

Подставляем найденные значения $$R^2$$ и $$r^2$$:

$$h^2 = \frac{5}{4} - \left(\frac{1}{2}\right)^2$$

$$h^2 = \frac{5}{4} - \frac{1}{4}$$

$$h^2 = \frac{4}{4} = 1$$

$$h = \sqrt{1} = 1$$ см.

Ответ: 1 см