10. Пересечение шара плоскостью, что находится на расстоянии и см от его центра, имеет площадь 625л см². Определите его объем.

Решение:

Плоскость находится на расстоянии \( d = \pi \) см от центра шара. Площадь сечения (круга) равна \( S_{сеч} = 625\pi \) см². Найдём объём шара.

1. Площадь сечения: \( S_{сеч} = \pi r^2 \), где \( r \) — радиус сечения.
2. \( 625\pi = \pi r^2 \) \(\implies\) \( r^2 = 625 \) \(\implies\) \( r = \sqrt{625} = 25 \) см.
3. Радиус шара \( R \) найдём из прямоугольного треугольника, где катеты — расстояние от центра до плоскости \( d \) и радиус сечения \( r \), а гипотенуза — радиус шара \( R \).
4. \( R^2 = d^2 + r^2 = \pi^2 + 25^2 = \pi^2 + 625 \).
5. Радиус шара \( R = \sqrt{\pi^2 + 625} \) см.
6. Объём шара вычисляется по формуле: \( V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3 \).
7. \( V_{шара} = \frac{4}{3} \pi (\sqrt{\pi^2 + 625})^3 = \frac{4}{3} \pi (\pi^2 + 625)\sqrt{\pi^2 + 625} \) см³.

Ответ: Объём шара равен \(\frac{4}{3} \pi (\pi^2 + 625)\sqrt{\pi^2 + 625}\) см³.