4. Радиус основания конуса равен 10 см, а высота 15 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 2 см от его вершины.

Решение:

1. Плоскость, параллельная основанию конуса, рассекает его на меньший конус и усеченный конус.
2. Высота большого конуса \( H = 15 \) см, радиус основания \( R = 10 \) см.
3. Плоскость находится на расстоянии \( h = 2 \) см от вершины. Это высота меньшего конуса.
4. Меньший конус подобен большому конусу. Отношение высот равно отношению радиусов: \( \frac{h}{H} = \frac{r}{R} \).
5. Найдем радиус сечения \( r \): \( r = R \cdot \frac{h}{H} = 10 \cdot \frac{2}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \) см.
6. Площадь сечения (круга) равна: \( S_{сеч} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \pi \frac{16}{9} \) см².

Ответ: Площадь сечения равна $$\frac{16\pi}{9}$$ см².